最近在给面临中考的表妹补课，补的是数学和物理（化学尝试过，表示hold不住），补课会遇到了一些还挺有意思，稍有难度的题，就把它们的解题过程记录了下来
人到油腻中年，只能拿这样的东西练练脑子了，主要为了防止老年痴呆
Week-1
题目是这样的：
正五边形广场ABCDE的边长为80m，甲、乙两个同学做游戏，分别从A、C两点处同时出发，沿A-B-C-D-E-A的方向绕广场行走，甲的速度为50m/min，乙的速度为46m/min，则两人第一次刚走到同一条边上时，（ ）
A. 甲在顶点A处
B. 甲在顶点B处
C. 甲在顶点C处
D. 甲在顶点D处
求解思路：
这本质上是一个同向同时的追击问题
想象一下，甲追上乙即两者相遇时的场景，两人第一次刚走到同一条边上的场景肯定发生在两者相遇之前，也就是说题目要求的那个时刻那个场景是发生在追击过程中的
可以很容易地想到，两人第一次刚走到同一条边上时，落在后面的甲肯定刚好落在这个五边形的某一个顶点上，这意味着甲此时刚好完整地走完了x条边，则此时甲移动的路程为80x
由于此时，乙与甲在同一条边上，则可设此时甲乙之间的距离为k，则此时乙移动的路程为80x+k-160
考虑到甲乙是同时运动的，它们的运动时间总是相同的，则
$$
\frac{80x}{50}=\frac{80x+k-160}{46}
$$
根据这个公式，可以推出K的表达式为：
$$k=ax+b$$
a和b分别是某一个实数，可以通过上面的等式实际算出来，不过这里主要是为了讲解解题的思路，所以没有将实际算出的数字标上
前面提到，此时乙与甲是在同一条边上的，那么它们之间的距离k肯定不能超出这条边的长度，即
$$0 < k = ax+b\leq80$$
根据上面的不等式就可以算出x的取值范围：
$$w_1 < x \leq w_2$$
则去x在该取值范围的最小正整数，通过它就可以知道此时甲到底位于哪个顶点，比如若此时x去3，则甲位于D点
Week-2
题目：
已知抛物线$y=x^2-2x-3$进过点A(-1,b)，P(m,t)是抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P’，问：
当点P’落在第二象限内，且$P’A^2$取得最小值时，求m的值
求解：
已知点P’是P关于原点的中心对称点，因此P’的坐标可以推出是(-m,-t)，也可以求出点A的坐标为(-1,0)
又由于点P’落在第二象限，因此：
$$
\begin{cases}
-m<0 \\\ -t>0
\end{cases}
\to
\begin{cases}
m>0 \\
t<0
\end{cases}
$$
因为已知点A的坐标，也知道点P’坐标的表示方式，则可以将$P’A^2$表示出来：
$$
\begin{aligned}
P’A^2 &=(-m+1)^2+t^2 \\
&=m^2-2m+1+t^2
\end{aligned}
$$
虽然我们用m和t将$P’A^2$表示了出来，但是两个未知数还是太多，需要想办法消去其中一个，这时可以利用点P在抛物线上这个条件，则
$$
m^2-2m-3=t \to m^2-2m=t+3
$$
将这一步得到的结论$m^2-2m=t+3$带入上一步的结论中，从而得到
$$
P’A^2=t^2+t+1 (t<0)
$$
因此，此时题目的问题变成了：当t<0时，$P’A^2=t^2+t+1$在何处取到最小值？
很明显，抛物线$t^2+t+1$的开口向上，且其对称轴为$t=-\frac{1}{2}$，在抛物线的取值范围t<0上，因此t取$-\frac{1}{2}$
已经得到t的取值，将它带到抛物线表达式中，就可以将m求出了